解:令t=lnx.
原式=∫(1/lnx)d(lnx)
=∫(1/t)dt
=ln|t|
=ln|lnx|.
(1)
∫[(1/x)lnx]dx
=∫lnxd(lnx)
=1/2*(lnx)^2+C
(2)
∫[1/(xlnx)]dx
=∫(1/lnx)d(lnx)
=ln|lnx|+C.
∫(1/xlnx)dx=∫(1/lnx)d(lnx)=ln|lnx|+C
actually, 1/xlnx = (1/x)lnx, 1/(xlnx) is different.
cosx三次方分之一的不定积分xlnx分之一的不定积分：∫cos³xdx=∫cos²xdsinx=∫(1-sin²x)dsinx=∫dsinx-∫sin²xdsinx=sinx-sin³x/3+C。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
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